طريقة الحساب
التباديل والتوافيق طريقتان لعدّ الاختيارات. السؤال الوحيد الذي يحدد أيهما تستخدم: هل الترتيب مهم؟ اختيار 3 أشخاص للجنة لا يهم فيه الترتيب، وهذه توافيق. أما اختيار رئيس ونائب وأمين صندوق فالترتيب فيه مهم، وهذه تباديل. تحسب الأداة الحالات الأربع بأعداد صحيحة دقيقة دون تقريب، حتى لو كان الناتج مكونًا من عشرات الخانات.
التوافيق: C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) التباديل: P(n, r) = n! ÷ (n − r)! توافيق مع التكرار = C(n + r − 1, r) · تباديل مع التكرار = nʳأمثلة محلولة. من 10 طلاب نختار 3: التوافيق (لجنة) = 10! ÷ (3! × 7!) = 120، والتباديل (رئيس ونائب وأمين) = 10 × 9 × 8 = 720. ومع التكرار: 220 توفيقة، و10³ = 1,000 تبديلة (مثل رمز سري من 3 أرقام). وفي اليانصيب، اختيار 6 أرقام من 49 له 13,983,816 احتمالًا، أي أن فرصة الفوز نحو 1 من 14 مليونًا.
متى أستخدم كل نوع؟
| النوع | الترتيب مهم؟ | التكرار مسموح؟ | مثال |
|---|---|---|---|
| توافيق nCr | لا | لا | اختيار فريق من 5 لاعبين |
| تباديل nPr | نعم | لا | ترتيب المراكز الثلاثة الأولى في سباق |
| توافيق مع التكرار | لا | نعم | شراء 4 قطع حلوى من 6 أنواع |
| تباديل مع التكرار | نعم | نعم | رمز PIN من 4 أرقام = 10,000 |
المضروب (!n)
المضروب هو حاصل ضرب كل الأعداد من 1 إلى n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. ومن الاتفاقات المهمة أن 0! = 1. ينمو المضروب بسرعة هائلة؛ فـ 20! يتجاوز مليار مليار، ولهذا تعجز الآلات الحاسبة العادية عن الأعداد الكبيرة بينما تعرضها هذه الأداة كاملة.
خصائص مفيدة في حل المسائل
- C(n, r) = C(n, n − r)، فاختيار 3 من 10 يساوي ترك 7 من 10.
- C(n, 0) = C(n, n) = 1، وC(n, 1) = n.
- P(n, r) = C(n, r) × r!، لأن كل مجموعة يمكن ترتيبها بـ r! طريقة.
- إذا كانت r أكبر من n في التوافيق أو التباديل بدون تكرار، فالناتج صفر.
من العدّ إلى الاحتمال
الاحتمال = عدد الحالات المطلوبة ÷ عدد كل الحالات. احتمال سحب 5 أوراق كلها من لون واحد (فلاش) من 52 ورقة = 4 × C(13, 5) ÷ C(52, 5) = 5,148 ÷ 2,598,960 ≈ 0.2%.
لتحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية استخدم حاسبة النسبة المئوية، وللكسور حاسبة الكسور، ولمسائل التوزيع الطبيعي حاسبة الدرجة المعيارية.