طريقة الحساب
الدرجة المعيارية (Z) تخبرك كم انحرافًا معياريًا تبعد قيمة ما عن المتوسط. الصفر يعني أنها تساوي المتوسط تمامًا، و+2 يعني أنها أعلى منه بانحرافين معياريين، و−1 يعني أنها أقل منه بانحراف واحد. وبفضلها نقارن درجات من اختبارات مختلفة، ونحدد القيم الشاذة، ونحوّل أي قيمة إلى نسبة مئوية تحت المنحنى الطبيعي.
Z = (القيمة − المتوسط) ÷ الانحراف المعياري النسبة الأقل من القيمة = Φ(Z) · الأعلى = 1 − Φ(Z)مثال محلول. حصل طالب على 85 في اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 10. الدرجة المعيارية = (85 − 70) ÷ 10 = 1.5. إذا كانت الدرجات موزعة توزيعًا طبيعيًا، فإن 93.32% من الطلاب حصلوا على أقل منه، و6.68% على أعلى منه، أي أنه في المئين 93 تقريبًا. وتقع 86.64% من الدرجات بين Z = −1.5 وZ = +1.5.
كيف أفسّر الدرجة المعيارية؟
| Z | النسبة الأقل منها | المعنى |
|---|---|---|
| −2 | 2.28% | منخفضة جدًا |
| −1 | 15.87% | أقل من المتوسط |
| 0 | 50% | عند المتوسط تمامًا |
| +1 | 84.13% | أعلى من المتوسط |
| +1.96 | 97.5% | حد مستوى الثقة 95% (من الطرفين) |
| +3 | 99.87% | استثنائية أو قيمة شاذة محتملة |
مقارنة درجات من اختبارين مختلفين
حصلت على 80 في الرياضيات (المتوسط 65 والانحراف 10) و85 في العلوم (المتوسط 80 والانحراف 5). أين كان أداؤك أفضل؟ Z الرياضيات = 1.5، وZ العلوم = 1. إذن أداؤك في الرياضيات أقوى مقارنة بزملائك، رغم أن درجتها الخام أقل. وتستخدم بعض الجهات فكرة التوحيد المعياري نفسها عند مقارنة نتائج الاختبارات بين مجموعات مختلفة.
متى يصح استخدام النسب؟
حساب Z نفسه صحيح لأي بيانات، لكن تحويله إلى نسبة مئوية يفترض أن البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي (شكل الجرس). إذا كانت البيانات ملتوية بشدة، مثل الدخول والأسعار، فالنسب تقريبية فقط. وتستخدم الحاسبة تقريب أبراموفيتز وستيجن للتوزيع الطبيعي التراكمي، وخطؤه أقل من جزء من عشرة ملايين، أي بدقة جداول Z المطبوعة في الكتب.
القيم الشاذة
تعد القيمة شاذة عادة إذا تجاوزت |Z| الرقم 3، وبعض الباحثين يستخدمون 2.5. راجع مثل هذه القيم قبل حذفها؛ فقد تكون خطأ إدخال أو حالة حقيقية مهمة.
لا تعرف الانحراف المعياري؟ احسبه أولًا من بياناتك في حاسبة الانحراف المعياري. ولتحديد عدد المشاركين في استبيان استخدم حاسبة حجم العينة، وللمتوسط والوسيط افتح حاسبة المتوسط الحسابي.