طريقة الحساب
القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) هو أكبر عدد صحيح يقسم كل الأعداد بدون باقٍ. والمضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ) هو أصغر عدد موجب تقبل كل الأعداد القسمة عليه. وهما من أساسيات الرياضيات في المرحلة الابتدائية والإعدادية.
ق.م.أ بخوارزمية إقليدس: ق.م.أ(أ، ب) = ق.م.أ(ب، باقي قسمة أ على ب)، حتى يصبح الباقي صفرًا م.م.أ(أ، ب) = |أ × ب| ÷ ق.م.أ(أ، ب) · ولأكثر من عددين نكرر لكل زوجمثال محلول. للأعداد 12 و18 و30: ق.م.أ(12، 18) = 6، وق.م.أ(6، 30) = 6، إذن ق.م.أ = 6. وم.م.أ(12، 18) = 216 ÷ 6 = 36، وم.م.أ(36، 30) = 1,080 ÷ 6 = 180. وللتحقق بالتحليل إلى العوامل الأولية: 12 = 2² × 3، و18 = 2 × 3²، و30 = 2 × 3 × 5. القاسم يأخذ أصغر الأسس (2 × 3 = 6)، والمضاعف يأخذ أكبرها (2² × 3² × 5 = 180).
خوارزمية إقليدس خطوة بخطوة
لإيجاد ق.م.أ(48، 18): 48 = 2 × 18 + 12 ← ق.م.أ(18، 12)؛ 18 = 1 × 12 + 6 ← ق.م.أ(12، 6)؛ 12 = 2 × 6 + 0 ← الناتج 6. وهي سريعة حتى مع الأعداد الكبيرة جدًا، ولذلك تستخدمها الآلات الحاسبة والكمبيوتر.
أين نستخدمهما؟
- تبسيط الكسور: اقسم البسط والمقام على ق.م.أ. 18/30 ← بالقسمة على 6 ← 3/5.
- جمع الكسور: م.م.أ للمقامات هو المقام المشترك الأصغر. 1/12 + 1/18 ← المقام 36.
- المواعيد: أتوبيس كل 12 دقيقة وآخر كل 18 دقيقة يتحركان معًا كل 36 دقيقة (م.م.أ).
- التبليط: أكبر بلاطة مربعة تغطي أرضية 48 × 18 بالضبط مقاسها 6 × 6 (ق.م.أ).
حالات خاصة
إذا كان ق.م.أ = 1 فالأعداد أولية فيما بينها، ومضاعفها المشترك الأصغر هو حاصل ضربها. والصفر غير مقبول، والمضاعف المشترك لقوائم كبيرة قد يصبح أكبر من أن يُعرض بدقة، والحاسبة تخبرك بذلك.
تعمل على الكسور؟ استخدم حاسبة الكسور. ولمتوسط قائمة أعداد حاسبة المتوسط الحسابي، وللمعادلات حاسبة المعادلة التربيعية.