طريقة الحساب
التباين (Variance) هو أحد أهم المقاييس الإحصائية لوصف تشتت البيانات حول متوسطها الحسابي. يُستخدم التباين على نطاق واسع في الأبحاث العلمية، ورسائل الماجستير والدكتوراه، وتحليل بيانات الأسواق المالية، وضبط جودة الإنتاج، ونماذج تحليل التباين (ANOVA). يعبّر التباين عن متوسط مربعات الفروق بين كل قيمة في البيانات والمتوسط العام للمجموعة.
تباين العينة s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) تباين المجتمع σ² = Σ(x − μ)² ÷ N · الانحراف المعياري = √التباينمثال محلول. لدينا البيانات التالية: 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9. مجموع هذه القيم يساوي 40 وعددها n = 8، وبالتالي يكون المتوسط الحسابي هو 5. بطرح المتوسط 5 من كل قيمة وتربيع الناتج نحصل على مربعات الانحرافات: 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ويكون مجموع مربعات الانحرافات (Sum of Squares) هو 32. وإذا اعتبرنا البيانات عينة (نقسم على n − 1 = 7)، فإن تباين العينة = 32 ÷ 7 = 4.5714 (وانحرافها المعياري 2.1381). أما إذا كانت البيانات تمثل المجتمع الإحصائي كاملًا (نقسم على N = 8)، فإن تباين المجتمع = 32 ÷ 8 = 4.0000 (وانحرافه المعياري 2.0000).
خطوات حساب التباين يدويًا خطوة بخطوة
- حساب المتوسط الحسابي: اجمع جميع القيم ثم اقسم الناتج على عدد القيم الكلي (n).
- حساب انحراف كل قيمة: اطرح المتوسط المحسوب من كل قيمة فردية (x − x̄). تذكر دائمًا أن مجموع هذه الانحرافات الجبرية يساوي صفرًا.
- تربيع كل انحراف: اضرب كل انحراف في نفسه (x − x̄)²؛ والهدف من التربيع هو التخلص من الإشارات السالبة حتى لا تُلغي الفروق الموجبة.
- جمع مربعات الانحرافات: اجمع كل النواتج المربعة لتحصل على «مجموع المربعات» (SS = Σ(x − x̄)²).
- القسمة على درجات الحرية: اقسم مجموع المربعات على (n − 1) إذا كانت البيانات عينة، أو على N إذا كانت تمثل المجتمع بالكامل، ليكون الناتج هو التباين.
الفرق بين تباين العينة وتباين المجتمع (تصحيح بيسل)
يعد التمييز بين العينة والمجتمع أمرًا حاسمًا في الإحصاء الاستدلالي:
- تباين المجتمع (σ²): نختاره عندما تكون الأرقام شاملة لجميع أفراد المجموعة المدروسة دون استثناء (مثل درجات جميع طلاب مدرسة محددة). في هذه الحالة نقسم مباشرة على N.
- تباين العينة (s²): نختاره عندما تؤخذ البيانات كعينة عشوائية ممثلة لمجتمع أكبر (مثل استطلاع رأي لـ 100 ناخب). نقسم هنا على n − 1، وهو ما يُعرف رياضيًا باسم «تصحيح بيسل» (Bessel’s correction)، لتعويض الميل الطبيعي للعينات نحو إظهار تشتت أقل من التشتت الحقيقي للمجتمع.
الفرق بين التباين والانحراف المعياري
يقيس المقياسان درجة التشتت، لكن التباين يُقاس بـ الوحدات المربعة (مثل: ريال²، أو متر²، أو نقطة²)، وهو ما يجعله ممتازًا في العمليات الرياضية والمعادلات المتقدمة. أما الانحراف المعياري فهو الجذر التربيعي للتباين، ويعود بالنتيجة إلى نفس وحدة القياس الأصلية للبيانات، مما يجعله أسهل في الفهم والتفسير الواقعي.
ولحساب الانحراف المعياري والخطأ المعياري مباشرة، افتح حاسبة الانحراف المعياري. ولمعرفة المتوسط والوسيط والمنوال، راجع حاسبة المتوسط الحسابي، ولمقارنة موقع قيمة محددة داخل التوزيع الطبيعي استخدم حاسبة الدرجة المعيارية Z-Score.